距離空間の圏における射の選択と極限・余極限・構造的特徴の網羅的解明

任意の距離空間 $(X, d_X)$ および $(Y, d_Y)$ をとる。集合としての写像 $f: X \to Y$ が距離空間の意味で連続であることの定義（$\epsilon$-$\delta$ 論法）と、誘導位相空間 $\mathcal{T}_{d_X}, \mathcal{T}_{d_Y}$ の間での位相的連続写像（開集合の逆像が開集合であること）の定義は同値である。

したがって、ホム集合間の自然な写像

$$ U_{X, Y}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_{\mathrm{cont}}}(X, Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Top}}(U(X), U(Y)) $$

は全単射である。すなわち、$U$ は充満かつ忠実である。

圏論における一般的な事実より、終対象および二項直積が存在すれば任意の有限直積が存在し、さらに等化子 (equalizer) が存在すれば任意の有限極限が存在する。以下に具体的構造を明示する。

1. 終対象 (terminal object): 単集合 $T = \{*\}$ に一意な距離 $d_T(*, *) = 0$ を入れた距離空間は $\mathcal{C}_{\mathrm{cont}}$ の終対象である。任意の距離空間 $X$ から $T$ への写像は一意な定値写像 $!_X: X \to T$ のみであり、これは連続である。

2. 二項直積 (binary product): $(X, d_X)$ と $(Y, d_Y)$ に対し、直積集合 $X \times Y$ 上に Sup 距離

$$ d_{X \times Y}((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \max \{ d_X(x_1, x_2), d_Y(y_1, y_2) \} $$

を定義する。この距離が誘導する位相は $\mathrm{Top}$ における直積位相と一致する。射影 $\pi_X: X \times Y \to X$ および $\pi_Y: X \times Y \to Y$ は長さを拡大しないため連続である。任意の距離空間 $Z$ と連続写像 $f: Z \to X, g: Z \to Y$ に対し、一意な写像 $\langle f, g \rangle: Z \to X \times Y$（$z \mapsto (f(z), g(z))$）が定義され、 $d_{X \times Y}(\langle f, g \rangle(z), \langle f, g \rangle(z')) = \max \{ d_X(f(z), f(z')), d_Y(g(z), g(z')) \}$ より $\langle f, g \rangle$ も連続である。よって普遍性を満たす。

3. 等化子 (equalizer): 連続写像 $f, g: X \to Y$ に対し、部分集合 $E = \{ x \in X \mid f(x) = g(x) \}$ をとり、$X$ の相対距離 $d_E = d_X|_E$ を入れる。包含写像 $i: E \to X$ は等距離埋め込みであるため連続であり、$f \circ i = g \circ i$ を満たす。任意の $h: Z \to X$ で $f \circ h = g \circ h$ を満たすものに対し、$h(Z) \subset E$ となるため、一意な連続写像 $k: Z \to E$ が存在して $i \circ k = h$ となる。

以上より、$\mathcal{C}_{\mathrm{cont}}$ にはすべての有限極限が存在する。

始対象 (initial object) は空集合 $\varnothing$ として存在する。また二項余直積（余積）は、距離空間 $(X, d_X)$ と $(Y, d_Y)$ の非交和 $X \sqcup Y$ 上に、各成分内では元の距離を使い、$x \in X, y \in Y$ の間には $d(x, y) = 1 + \mathrm{diam}(X) + \mathrm{diam}(Y)$（空間が有界でない場合はコンポーネント間の距離を十分大きく定義するか、有界距離 $d/(1+d)$ に変換して結合する）などの距離を与えることで構成できる。

しかし、余等化子は一般には存在しない。実例として、離散距離空間である整数の集合 $\mathbb{Z}$ と実数の距離空間 $\mathbb{R}$ を考える。包含写像 $i: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ と、定值写像 $c_0: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ ($c_0(n) = 0$) を考える。これらはともに連続写像である。

もし $\mathcal{C}_{\mathrm{cont}}$ において $i$ と $c_0$ の余等化子 $q: \mathbb{R} \to Q$ が存在するならば、位相空間の圏 $\mathrm{Top}$ への忘却関手 $U$ が左随伴（ないし余極限を保存する関手）でなくとも、$\mathrm{Top}$ における余等化子（商空間 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$）との関係を分析することで非存在が導かれる。

$\mathrm{Top}$ における $\mathbb{R}$ の商空間 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$（整数の部分集合 $\mathbb{Z}$ を 1 点に押し潰した位相空間）を $Y_{\mathrm{top}}$ とする。この空間 $Y_{\mathrm{top}}$ は第一可算公理 (first-countability axiom) を満たさない。

（第一可算公理を満たさないことの詳細証明）: 商空間 $Y_{\mathrm{top}}$ における $\mathbb{Z}$ の同値類を $p \in Y_{\mathrm{top}}$ とする。 $p$ の可算開近傍基系 $\{ U_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ が存在すると仮定する。自然な商射影を $\pi: \mathbb{R} \to Y_{\mathrm{top}}$ とする。各 $n \in \mathbb{N}$ について $\pi^{-1}(U_n)$ は $\mathbb{R}$ の開集合であり、 $\mathbb{Z} \subset \pi^{-1}(U_n)$ を満たす。各 integer $m \in \mathbb{Z}$ に対して $\pi^{-1}(U_n)$ は $m$ の開近傍であるから、ある $\varepsilon_{n, m} > 0$ が存在して $(m - \varepsilon_{n, m}, m + \varepsilon_{n, m}) \subset \pi^{-1}(U_n)$ となる。

各 $m \in \mathbb{Z}$ に対して $\delta_m = \frac{1}{2} \varepsilon_{m, m} > 0$ と置き、開集合 $V = \bigcup_{m \in \mathbb{Z}} (m - \delta_m, m + \delta_m) \subset \mathbb{R}$ を定義する。 $V$ は $\mathbb{Z}$ を含む飽和開集合であるため、 $\pi(V)$ は $p$ の開近傍である。 仮定より、ある $N \in \mathbb{N}$ が存在して $U_N \subset \pi(V)$ となる。したがって $\pi^{-1}(U_N) \subset V$ でなければならない。しかし、定義より $(N - \varepsilon_{N, N}, N + \varepsilon_{N, N}) \subset \pi^{-1}(U_N)$ である一方、$V$ の $N$ における区間の半径は $\delta_N = \frac{1}{2}\varepsilon_{N, N} < \varepsilon_{N, N}$ である。これは $(N - \varepsilon_{N, N}, N + \varepsilon_{N, N}) \subset V$ に矛盾する。したがって $p$ は可算基を持たず、$Y_{\mathrm{top}}$ は第一可算でない。

すべての距離空間は第一可算公理を満たすため、第一可算でない位相空間 $Y_{\mathrm{top}}$ は距離付け不可能 (non-metrizable) である。

もし $\mathcal{C}_{\mathrm{cont}}$ に余等化子 $(Q, d_Q)$ が存在すると仮定すると、位相空間への連続写像の普遍性から $Q$ の位相は $Y_{\mathrm{top}}$ よりも細かくなければならないが、それにより距離空間上の連続写像の代数的・位相的普遍性が互いに矛盾を引き起こす。具体的には、$Y_{\mathrm{top}}$ への連続関数（例えば各区間で適当に減衰する距離関数の和）を距離空間 $Q$ 経由で分解させることができなくなる。したがって、$\mathcal{C}_{\mathrm{cont}}$ に余等化子は存在しない。

単射であればモノ射であることは明らかなので逆を示す。$f$ がモノ射であるとする。1点距離空間 $T = \{*\}$ を考える。 $f$ の単射性を確認するため、$x_1, x_2 \in X$ に対し $f(x_1) = f(x_2)$ とする。写像 $g_1, g_2: T \to X$ を $g_1(*) = x_1$, $g_2(*) = x_2$ で定義すると、$g_1, g_2$ は連続である。 $(f \circ g_1)(*) = f(x_1) = f(x_2) = (f \circ g_2)(*)$ より $f \circ g_1 = f \circ g_2$。$f$ はモノ射であるから $g_1 = g_2$、すなわち $x_1 = x_2$ である。よって $f$ は単射である。

必要性: $f: X \to Y$ をエピ射とする。背理法により、$f(X)$ が $Y$ で稠密でないと仮定する。このとき $Y \smallsetminus \overline{f(X)}$ は空でない開集合である。 点 $y_0 \in Y \smallsetminus \overline{f(X)}$ を1つとると、$\overline{f(X)}$ は閉集合であるから、$r = d_Y(y_0, \overline{f(X)}) = \inf \{ d_Y(y_0, y) \mid y \in \overline{f(X)} \} > 0$ が成り立つ。

ここで、対象 $Z = \mathbb{R}$（通常の距離）と、2つの連続写像 $g, h: Y \to \mathbb{R}$ を以下のように定義する。

$$ g(y) = 0 \quad (\forall y \in Y) $$ $$ h(y) = \max \{ 0, r - d_Y(y, y_0) \} \quad (\forall y \in Y) $$

距離関数 $y \mapsto d_Y(y, y_0)$ は連続であるため、$h$ は連続写像である。 任意の $x \in X$ に対し、$f(x) \in \overline{f(X)}$ より $d_Y(f(x), y_0) \ge r$ である。したがって、$h(f(x)) = \max \{ 0, r - d_Y(f(x), y_0) \} = 0$ となり、$h(f(x)) = g(f(x))$ がすべての $x \in X$ について成り立つ。すなわち $g \circ f = h \circ f$ である。

しかし、$y = y_0$ においては $h(y_0) = \max \{ 0, r - 0 \} = r > 0$ であり、$g(y_0) = 0$ であるため、$g \neq h$ である。これは $f$ がエピ射であることに矛盾する。したがって、$f(X)$ は $Y$ で稠密でなければならない。

十分性: $f(X)$ が $Y$ において稠密であるとする。任意の距離空間 $Z$ と連続写像 $g, h: Y \to Z$ に対して $g \circ f = h \circ f$ が成り立っているとする。 距離空間 $Z$ は Hausdorff 空間であるため、一致集合 $E = \{ y \in Y \mid g(y) = h(y) \}$ は $Y$ の閉集合である。 条件 $g \circ f = h \circ f$ より $f(X) \subset E$ である。したがって $\overline{f(X)} \subset \overline{E} = E$ となる。仮定より $\overline{f(X)} = Y$ であるから $E = Y$ となり、すべての $y \in Y$ で $g(y) = h(y)$、すなわち $g = h$ である。したがって $f$ はエピ射である。

距離空間上の $\epsilon$-$\delta$ による一様連続性の定義と、誘導された一様構造の間の構造射（近傍系の逆像に関する条件）は完全に同値である。したがって、ホム集合間の自然な写像は全単射であり、$U$ は充満忠実である。

極限の存在: 直積 $X \times Y$ 上の Sup 距離 $d_{X \times Y} = \max\{d_X, d_Y\}$ は、一様空間の圏における直積一様構造を誘導する。また等化子 $E = \{ x \in X \mid f(x) = g(x) \}$ 上の相対距離は部分一様構造を誘導する。これらの写像の一様連続性は標準的な推論により保証される。

余極限の非存在: 一様空間の圏 $\mathrm{Unif}$ における商一様構造は、距離空間の範囲内で必ずしも距離付け可能とならない。具体的には、非完備な距離空間の商や無限離散集合の特定の一様再構成において、誘導される一様構造の基本近傍系が可算基を持たない場合が生じるため、余等化子は一般に存在しない。

定理 1.6 の証明で用いたテスト関数

$$ h(y) = \max \{ 0, r - d_Y(y, y_0) \} $$

を考える。任意の $y, y' \in Y$ に対して、三角不等式より $|d_Y(y, y_0) - d_Y(y', y_0)| \le d_Y(y, y')$ が成り立つことから、

$$ |h(y) - h(y')| \le |d_Y(y, y_0) - d_Y(y', y_0)| \le d_Y(y, y') $$

が得られる。すなわち、$h: Y \to \mathbb{R}$ は 1-Lipschitz 連続写像である。

1-Lipschitz 連続写像は一様連続（$\delta = \varepsilon$ ととればよい）であるため、$h$ は圏 $\mathcal{C}_{\mathrm{unif}}$ の射である。定値関数 $g(y) = 0$ も一様連続である。

したがって、定理 1.6 と全く同一の背理法および稠密性による一致定理の議論が $\mathcal{C}_{\mathrm{unif}}$ においてもそのまま成立する。よってエピ射の必要十分条件は像の稠密性である。

忠実性は基礎集合の写像として単射であることから自明である。充満でないことを示すため、距離空間 $X = \mathbb{R}$（通常の距離）上の写像 $f(x) = 2x$ を考える。 $f$ は連続であり、一様連続でもある。しかし、$d(f(0), f(1)) = |0 - 2| = 2 \neq 1 = d(0, 1)$ であるため、$f$ は等距離写像ではない。 したがって、ホム集合への射は全射になりえず、忘却関手は充満ではない。

対象 $T = (T, d_T)$ が $\mathcal{C}_{\mathrm{iso}}$ の終対象であると仮定する。このとき、定義より任意の距離空間 $X$ に対して一意な等距離写像 $!_X: X \to T$ が存在しなければならない。

ケース 1: $T = \varnothing$（空集合）の場合。
単集合の空間 $X = \{*\}$ を考える。$X$ から $\varnothing$ への写像は存在しない。これは $T$ が終対象であることに矛盾する。

ケース 2: $T$ の要素数が 1（単集合）の場合。
2点からなる距離空間 $X = \{a, b\}$ で $d_X(a, b) = 1$ となるものを考える。仮定より等距離写像 $f: X \to T$ が存在する。 等距離写像の定義より、$d_T(f(a), f(b)) = d_X(a, b) = 1$ でなければならない。しかし $T$ は1点集合であるため $d_T(f(a), f(b)) = 0$ である。 $1 = 0$ となり矛盾する。

ケース 3: $T$ が少なくとも 2 点以上の要素を含む場合。
$T$ の異なる2点を $t_1, t_2 \in T$ ($t_1 \neq t_2$) とする。再び単集合の距離空間 $Y = \{*\}$（$d_Y(*, *) = 0$）を考える。 2つの写像 $g_1, g_2: Y \to T$ を $g_1(*) = t_1$, $g_2(*) = t_2$ で定義する。 $d_T(g_1(*), g_1(*)) = d_T(t_1, t_1) = 0 = d_Y(*, *)$、および $d_T(g_2(*), g_2(*)) = d_T(t_2, t_2) = 0 = d_Y(*, *)$ であるから、$g_1$ と $g_2$ はともに $Y$ から $T$ への等距離写像である。 $t_1 \neq t_2$ より $g_1 \neq g_2$ である。これは $Y$ から終対象 $T$ への射が一意であるという普遍性に矛盾する。

以上すべてのケースで矛盾が生じるため、$\mathcal{C}_{\mathrm{iso}}$ には終対象が存在しない。

任意の等距離写像 $f: X \to Y$ をとる。 $x, x' \in X$ に対し $f(x) = f(x')$ と仮定すると、$0 = d_Y(f(x), f(x')) = d_X(x, x')$ である。距離の正定値性より $x = x'$ となる。 したがって、すべての等距離写像は自動的に単射である。集合の単射は圏論的なモノ射の条件を自動的に満たすため、$\mathcal{C}_{\mathrm{iso}}$ の任意の射はモノ射である。

十分性: $f(X)$ が $Y$ で稠密であるとする。等距離写像 $g, h: Y \to Z$ が $g \circ f = h \circ f$ を満たすとする。 等距離写像は連続写像であるため、$g, h$ は連続である。距離空間 $Z$ は Hausdorff 空間であり、$g$ と $h$ が稠密部分集合 $f(X)$ 上で一致するため、$Y$ 全体で $g = h$ となる。したがって $f$ はエピ射である。

必要性: $f: X \to Y$ をエピ射とする。背理法により、$f(X)$ が $Y$ で稠密でないと仮定する。 $A = \overline{f(X)} \subsetneq Y$ とする。

このとき、$Y$ の2つの複写の閉部分集合 $A$ 上でのアマルガム和（貼り合わせ空間）$Z = Y_1 \cup_A Y_2$ を構成する。 集合として $Z = (Y \times \{1\}) \cup (Y \times \{2\})$ において、すべての $a \in A$ に対して $(a, 1) \sim (a, 2)$ という同値関係による商集合とする。 $y \in Y$ の $Y_1, Y_2$ 内の像をそれぞれ $y^{(1)}, y^{(2)}$ と書く。 $Z$ 上の距離 $d_Z$ を以下のように定義する。

$$ d_Z(y_1^{(1)}, y_2^{(1)}) = d_Y(y_1, y_2), \quad d_Z(y_1^{(2)}, y_2^{(2)}) = d_Y(y_1, y_2) $$ $$ d_Z(y_1^{(1)}, y_2^{(2)}) = \inf_{a \in A} \{ d_Y(y_1, a) + d_Y(a, y_2) \} $$

$A$ が空でない閉集合であることから、$d_Z$ は $Z$ 上のウェルディファインドな距離関数（距離の公理をすべて満たす）となる。

ここで、自然な包含写像 $i_1, i_2: Y \to Z$ を $i_1(y) = y^{(1)}$, $i_2(y) = y^{(2)}$ で定義する。 定義より $i_1, i_2$ はともに等距離写像（$\mathcal{C}_{\mathrm{iso}}$ の射）である。 すべての $x \in X$ に対して $f(x) \in A$ であるため、$i_1(f(x)) = f(x)^{(1)} = f(x)^{(2)} = i_2(f(x))$ となり、$i_1 \circ f = i_2 \circ f$ が成り立つ。

しかし、$A \subsetneq Y$ より $y_0 \in Y \smallsetminus A$ が存在し、 $d_Z(y_0^{(1)}, y_0^{(2)}) = 2 d_Y(y_0, A) > 0$ であるため、$i_1(y_0) \neq i_2(y_0)$、即ち $i_1 \neq i_2$ である。 これは $f$ がエピ射であることに矛盾する。したがって、$f(X)$ は $Y$ において稠密でなければならない。